domingo, 26 de julio de 2009

El Algebrade Boole


Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1938.


Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.


Definición:


El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:


Como retículo


El álgebra de Boole es un retículo (A, , +), donde el conjunto A esta formado por dos elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:


1. Ley de Idempotencia:


a.a=a
a+a=a


2. Ley de Asociatividad:


a.(b.c)=(a.b).c
a+(b+c)=(a+b)+c


3. Ley de Conmutatividad:


a.b=b.a a+b=b+a


4. Ley de Cancelativo


(a.b)+a=a (a+b).a=a

Principio de Dualidad


El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.


Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Otras formas de notación del álgebra de Boole


En
matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

___ _ _
a+b=a.b
___ _ _
a.b=a+b


Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las
puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

NOT (a OR b)= NOT a AND NOT b
NOT (a AND b)= NOT a OR NOT b


CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B.


VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.


TEOREMAS:


Teorema 1: el elemento complemento A’ es único.


Teorema 2 de los elementos nulos: para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1 A· 0 = 0


Teorema 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0


Teorema 4 de idempotencia: para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A· A=A


Teorema 5 de involución: para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A


Teorema 6 de absorción: para cada par de elementos de B, se verifica: A+A· B=A A· (A+B)=A


Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’· B = A + B A · (A’ + B) = A · B

Álgebra de Boole Aplicada a la Informática

Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.

Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..

El 0 lógico

El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

El 1 lógico

En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico).