domingo, 26 de julio de 2009

Principio de Dualidad


El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.


Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Otras formas de notación del álgebra de Boole


En
matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

___ _ _
a+b=a.b
___ _ _
a.b=a+b


Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las
puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

NOT (a OR b)= NOT a AND NOT b
NOT (a AND b)= NOT a OR NOT b


CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B.


VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa.


TEOREMAS:


Teorema 1: el elemento complemento A’ es único.


Teorema 2 de los elementos nulos: para cada elemento de B se verifica: A+1 = 1 A· 0 = 0


Teorema 3: cada elemento identidad es el complemento del otro. 0’=1 1’=0


Teorema 4 de idempotencia: para cada elemento de B, se verifica: A+A=A A· A=A


Teorema 5 de involución: para cada elemento de B, se verifica: (A’)’ = A


Teorema 6 de absorción: para cada par de elementos de B, se verifica: A+A· B=A A· (A+B)=A


Teorema 7: para cada par de elementos de B, se verifica: A + A’· B = A + B A · (A’ + B) = A · B

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